| Analizando
la Historia de la humanidad principalmente la Historia del
pensamiento en la antigua Grecia, se observa cómo los
matemáticos y pensadores se han ocupado de analizar las formas
óptimas en la geometría y en la naturaleza.
Quizá
el descubrimiento más importante relacionado con uno de los
grandes problemas de la geometría griega sea el que realizó
MENECMO, matemático griego (350 a. de C.), intentando conseguir
la duplicación del cubo (problema irracional: construir un cubo de doble volumen que
otro dado): LAS CÓNICAS, curvas que se obtienen como secciones
por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos
distintos según el ángulo del vértice fuese agudo, recto u
obtuso.
MENECMO
descubre estas curvas como secciones de un cono circular recto
por un plano perpendicular a una generatriz.
|
|
|
|
CONO
RECTÁNGULO: Giro en torno a un cateto de triángulo
rectángulo isósceles
|
CONO
ACUTÁNGULO: Giro en torno al cateto mayor de un
triángulo rectángulo
|
|
|
|
CONO
OBTUSÁNGULO: Giro en torno al cateto menor de un
triángulo rectángulo.
|
|
Las
secciones propuestas por Menecmo serían:
|
|
|
|
|
Secciones en un cono rectángulo
|
Producen
una parábola |
|
|
|
|
Secciones
en un cono acutángulo |
Producen una elipse
|
|
|
|
|
Secciones
en un cono obtusángulo |
Producen una rama de hipérbola
|
|
Fue
APOLONIO de Perga (262-190 a. de C.) el primero en
estudiarlas detalladamente y encontrar la propiedad
plana que las definía.
APOLONIO, demostró por primera vez:
- que no es necesario considerar exclusivamente
secciones perpendiculares a una generatriz del cono.
- que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos
de secciones cónicas sin más que variar la
inclinación del plano que corta al cono.
- que no es necesario sea el cono recto, es decir que el
eje sea perpendicular al plano de la base circular.
- que puede sustituirse el cono de una hoja por el cono
de dos hojas( par de conos orientados en sentido
opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre
la misma recta. Lo que le lleva a descubrir que la
hipérbola ese una cónica con dos ramas.
|
|
|
|
|
Para Apolonio: Si una recta de longitud indefinida y que
pasa siempre por un punto fijo se hace mover sobre la
circunferencia de un círculo que no está en el mismo
plano que el punto dado, de tal manera que pasa
sucesivamente por todos los puntos de dicha
circunferencia, entonces la recta móvil describirá la superficie
de un cono doble recto si la recta el
perpendicular al círculo u oblicuo si no lo es.
Apolonio,
dio el nombre a las curvas obtenidas mediante las
secciones:
|
|
  |
ELIPSE:
Resulta al inclinar el plano, sin llegar a
ser paralelo a ninguna de sus
generatrices y sin llegar al ángulo que forma la
generatriz del cono. |
|
PARÁBOLA:
Resulta al cortar el cono con un plano paralelo a la
generatriz del cono |
  |
|
 
|
HIPÉRBOLA:
Resulta, si el ángulo del plano es todavía mayor. |
|
|
Apolonio
demostró también que las curvas cónicas tienen muchas
propiedades interesantes, algunas de las cuales se
utilizan actualmente para definirlas. Quizás las
más interesantes y útiles que descubrió son las llamadas
propiedades de reflexión de las cónicas:
1ª.- Reflexión de la parábola: Si se recibe
luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de
manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del
espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se
concentra en el foco.
|
|
|
|
Existe la leyenda que dice: Arquímedes (287-212 a. de
C.), ante el asedio de los romanos a la ciudad de
Siracusa, utilizó esta propiedad de reflexión
parabólica, (ideó un complejo sistema de espejos
metálicos colocados en forma de parábola que
concentraban los rayos solares sobre la flota romana)
para incendiar las naves romanas.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los
radares, las antenas de televisión, espejos solares.
2º.- Reflexión de la elipse: Apolonio
demostró, que si se coloca una fuente de luz en el foco
de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el
espejo se concentra en el otro foco.
|
|
Hasta
el siglo XVII, las cónicas eran conocidas y apreciadas
a través de la obra de Apolonio. |
DESCARTES (1596-1650), desarrolló un método
para relacionar las curvas con ecuaciones,
lo que
dio origen a la Geometría Analítica.
Las cónicas pueden representarse por ecuaciones
cuadráticas en dos variables.
El hecho que todas las ecuaciones cuadráticas
representen secciones cónicas se lo
debemos a
Jan de Witt (1629-1672).
|
|
Fue entonces cuando
Galileo Galilei (1564-1642)
probó que los
proyectiles se mueven según trayectorias parabólicas:
|
|
|
|
El
astrónomo Johannes Kepler (1571-1630)
descubrió que
las órbitas que describen los
planetas al girar alrededor del sol son
elipses que tienen al sol en uno de sus focos.
|
Sin
lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes
que la geometría ofrece a la Física. No sólo a ella sino
también al Arquitectura ya que con ellas se han logrado hacer
verdaderas obras de arte. Os
invito a descubrirlas también en los objetos de la vida real y
sobre todo en la arquitectura de los edificios. |
